Informationstheorie trifft auf die Pferderennbahn
1956 veröffentlichte John L. Kelly Jr., Physiker bei den Bell Labs, eine Arbeit mit dem Titel A New Interpretation of Information Rate. Es ging darin nicht ums Wetten. Kelly untersuchte, wie ein Buchmacher mit verrauschten Vorabinformationen über Rennausgänge setzen sollte, um das langfristige Wachstum seines Kapitals zu maximieren. Die Formel, die er herleitete — heute Kelly-Kriterium genannt —, wurde still und leise zu einem der wichtigsten Ergebnisse der quantitativen Finanzwirtschaft.
Die Idee entkam der Informationstheorie, weil Ed Thorp, Mathematiker am Caltech, sie Anfang der 1960er-Jahre nutzte, um Blackjack zu schlagen, und dieselbe Logik anschliessend über seinen Hedgefonds Princeton Newport Partners auf die Märkte anwandte. Warren Buffett, Bill Gross und mehreren Berichten zufolge auch Jim Simons' Medallion Fund haben Kelly-artige Rahmenwerke zur Positionsdimensionierung eingesetzt. Die Formel hat Moden überdauert, weil sie auf Mathematik beruht, nicht auf Heuristiken.
Die Formel
Für eine binäre Wette mit bekanntem Edge lautet der Kelly-Anteil:
K = W − (1 − W) / R
Dabei ist W die Gewinnwahrscheinlichkeit und R das Payoff-Verhältnis — gewonnene Einheiten je riskierter Einheit. Das Ergebnis K ist der Kapitalanteil, den man setzen sollte, um den Erwartungswert des Logarithmus des Vermögens zu maximieren. Also die Einsatzgrösse, die die höchste langfristige Wachstumsrate erzeugt.
Für stetige Renditen lautet der entsprechende Ausdruck K = μ / σ², wobei μ die erwartete Überschussrendite und σ² die Varianz der Renditen ist. Diese Variante liegt den meisten quantitativen Modellen zur Portfoliodimensionierung zugrunde und verbindet Kelly direkt mit der Mean-Variance-Portfoliotheorie.
Ein durchgerechnetes Beispiel
Angenommen, eine Momentum-Strategie hat eine Trefferquote von 55 % und ein Chance-Risiko-Verhältnis von 2:1 — jeder Gewinntrade bringt doppelt so viel ein, wie ein Verlusttrade kostet. Eingesetzt in Kelly:
K = 0,55 − 0,45 / 2 = 0,55 − 0,225 = 0,325
Die Formel weist Sie an, 32,5 % Ihres Kontos bei jedem Trade zu riskieren. Für jede erfahrene Traderin klingt das selbstmörderisch — und das aus gutem Grund. Es lohnt sich aber zu verstehen, warum die Mathematik 32,5 % für optimal hält, bevor erklärt wird, warum dort niemand tatsächlich handelt.
Warum volles Kelly theoretisch optimal ist
Kelly maximiert E[log(Vermögen)] — den Erwartungswert des Logarithmus des Vermögens — und nicht das erwartete Vermögen. Die Log-Transformation ist entscheidend. Aufzinsung ist multiplikativ, und der Logarithmus verwandelt Multiplikation in Addition. Den erwarteten Logarithmus der Renditen zu maximieren, entspricht der Maximierung der geometrischen Durchschnittsrendite — also der Rate, mit der Ihr Konto tatsächlich wächst.
Mehr als Kelly zu setzen senkt das erwartete Log-Wachstum. Weit jenseits von Kelly wird es negativ: Sie gehen über genügend Versuche mathematisch garantiert pleite, selbst wenn jede einzelne Wette einen positiven Erwartungswert hat. Weniger als Kelly zu setzen bleibt profitabel, wächst aber langsamer. Die Kurve ist ausgeprägt asymmetrisch — Unterdimensionierung kostet Wachstum, Überdimensionierung kostet die Existenz.
Warum kein ernsthafter Trader volles Kelly nutzt
Die Formel hat ein brutales Sensitivitätsproblem. Sie setzt voraus, dass Sie Ihre wahre Trefferquote und Ihr wahres Payoff-Verhältnis exakt kennen. Im realen Handel schätzen Sie beides aus Backtests, die verrauscht sind, häufig überfittet und aus einem Marktregime stammen, das womöglich nicht mehr existiert.
Angenommen, Sie halten Ihren Edge für 55 %/2:1, tatsächlich beträgt er aber 52 %/1,8:1. Das wahre Kelly liegt bei etwa 0,25, während Sie 0,325 setzen — 30 % zu viel. Schon kleine Fehler in der Edge-Schätzung führen zu systematischer Überdimensionierung, und bei vollem Kelly sind die Drawdowns ohnehin ruinös. Monte-Carlo-Simulationen zeigen, dass volles Kelly auf einem tatsächlich profitablen System routinemässig Drawdowns von Hoch zu Tief in der Grössenordnung von 40 bis 50 Prozent erzeugt.
Der zweite Killer sind Fat Tails. Kelly unterstellt, dass die Renditen der von W und R implizierten Verteilung folgen. Märkte tun das nicht. Extremereignisse treten weit häufiger auf, als jeder Backtest vorhersagt, und bei vollem Kelly kann ein einzelner extremer Verlust Monate an aufgezinstem Wachstum auslöschen.
Fraktionales Kelly: der eigentliche Standard
Wegen Schätzrisiko und Fat Tails dimensionieren ernsthafte quantitative Manager mit einem Bruchteil von Kelly. Die Abwägungen sind gut untersucht:
- Halbes Kelly: rund 75 % der erwarteten Wachstumsrate des vollen Kelly, bei etwa halbem Drawdown. Weit verbreitet als der Kompromiss, bei dem man nachts ruhig schläft.
- Viertel-Kelly: etwa 45 % des vollen Wachstums, dafür schrumpfen die Drawdowns drastisch. Institutionelle Fonds dimensionieren häufig zwischen 0,2× und 0,5× Kelly.
- 10–20 % Kelly: eingesetzt bei Regimeübergängen, bei neuen Strategien ohne lange Historie oder wenn die Korrelation zwischen Positionen hoch ist.
Thorp selbst führte Princeton Newport zwischen 0,25× und 0,5× Kelly — nie voll. Das Wachstum, auf das Sie verzichten, ist der Preis dafür, Schätzfehler zu überleben.
Die Falle des geometrischen Mittels
Viele Tradern denken über Positionsgrössen in arithmetischen Renditen nach und übersehen damit stillschweigend den Volatility Drag. Wenn Sie 50 % verlieren, brauchen Sie 100 % Gewinn, um wieder bei null zu sein. Wechseln sich Trades mit +50 % und −50 % ab, schrumpft Ihr Kapital alle zwei Trades um 25 %, statt gleich zu bleiben.
Der Zusammenhang zwischen arithmetischer und geometrischer Durchschnittsrendite lautet näherungsweise:
Geometrische Rendite ≈ arithmetische Rendite − σ² / 2
Der Varianzabschlag σ²/2 ist der Volatility Drag. Grössere Positionen erhöhen σ² quadratisch, sodass eine Verdopplung der Einsatzgrösse den Drag ungefähr vervierfacht. Das ist der tiefere Grund, warum es Kelly gibt: Die Formel findet die Grösse, bei der das Wachstum aus dem Edge den Drag aus der Volatilität exakt ausgleicht.
Wie Sie Ihren Edge ehrlich schätzen
Kelly anzuwenden verlangt ehrliche Eingangsgrössen. Die meisten Privatanleger überschätzen ihren Edge dramatisch, weil sie auf denselben Daten backtesten, mit denen sie die Strategie entworfen haben — das klassische In-Sample-Overfitting.
- Nutzen Sie Walk-Forward-Validierung: auf einem Fenster trainieren, auf dem nächsten testen, weiterschieben. Berichten Sie Trefferquote und Payoff-Verhältnis ausserhalb der Stichprobe, nicht innerhalb.
- Gehen Sie davon aus, dass Ihr realisierter Edge kleiner ausfällt als jeder Backtest nahelegt. Transaktionskosten, Slippage und Regimedrift zehren am Edge.
- Berechnen Sie Kelly neu, sobald neue Live-Trades hinzukommen. Das wahre W und R einer Strategie driften über die Zeit und müssen laufend neu geschätzt werden.
- Halbieren Sie im Zweifel Ihren geschätzten Edge, bevor Sie die Formel anwenden.
Wann Kelly zusammenbricht
Kelly unterstellt eine stationäre Verteilung: dieselben W und R gelten für immer. Reale Märkte sind nicht stationär. Trendfolgesysteme verdienen den Grossteil ihrer Rendite in einer Handvoll Regimewechsel und mahlen dazwischen kleine Verluste ab. Mean-Reversion-Systeme funktionieren, bis die Volatilität explodiert. Volles Kelly, dimensioniert auf vergangenen Daten, ist immer zu aggressiv, wenn der Regimewechsel bevorsteht, der die Schätzung entwertet.
Portfolio-Kelly — die gleichzeitige Dimensionierung mehrerer korrelierter Positionen — erfordert die vollständige Kovarianzmatrix und reagiert äusserst empfindlich auf Korrelationsschätzungen. 2008 sprangen Instrumente, die historisch eine Korrelation von 0,2 aufwiesen, binnen Wochen auf 0,9, und jedes Portfolio-Kelly-Modell, das einen Korrelationsbruch nicht ausdrücklich berücksichtigte, führte zu katastrophaler Überdimensionierung.
Die praktische Regel
Berechnen Sie Kelly für jede Strategie mit konservativen Schätzungen für W und R. Dimensionieren Sie mit einem Viertel bis der Hälfte dieses Werts. Gehen Sie unter keinen Umständen über volles Kelly hinaus — jenseits von 1,0 fällt die Kurve des erwarteten Log-Wachstums steil ab. Rechnen Sie neu, während Sie Live-Evidenz sammeln, und rechnen Sie stets damit, dass Ihr realer Edge kleiner ist, als der Backtest nahelegte.
Kelly ist weniger eine Dimensionierungsformel als ein Denkrahmen. Es zwingt Sie, Ihren Edge zu quantifizieren, zu akzeptieren, dass er unsicher ist, und entsprechend zu dimensionieren. Die meisten Misserfolge im Trading sind keine Strategiefehler — es sind Fehler in der Positionsgrösse. Kelly ist die Disziplin, die verhindert, dass eine gute Strategie Sie umbringt.
Quellen & weiterführende Literatur
- John L. Kelly Jr., „A New Interpretation of Information Rate" (Bell System Technical Journal, 1956) — die Originalarbeit.
- Edward O. Thorp, The Kelly Criterion in Blackjack, Sports Betting, and the Stock Market (1997) — der massgebliche Praxisleitfaden von dem Mann, der es getan hat.
- William Poundstone, Fortune's Formula (2005) — zugängliche Geschichte des Kelly-Kriteriums von den Bell Labs bis zur Wall Street.
- L. M. Rotando & E. O. Thorp, „The Kelly Criterion and the Stock Market" (American Mathematical Monthly, 1992) — wendet Kelly auf langfristige Aktienanlage an.
- Investopedia, „Money Management Using the Kelly Criterion" — Einführung für Privatanleger.
